题目

如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4）动点P沿路线O→C→B运动． （1） 求直线AB的解析式； （2） 当△OPB的面积是△OBC的面积的 时，求出这时点P的坐标； （3） 是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 答案： 解： ∵ 点A的坐标为 (0,6) ， ∴ 设直线AB的解析式为 y=kx+6 ， ∵ 点 C(2,4) 在直线AB上， ∴2k+6=4 ， ∴k=−1 ， ∴ 直线AB的解析式为 y=−x+6 解：由 (1) 知，直线AB的解析式为 y=−x+6 ， 令 y=0 ， ∴−x+6=0 ， ∴x=6 ， ∴B(6,0) ， ∴S△OBC=12OB⋅yC=12 ， ∵△OPB 的面积是 △OBC 的面积的 14 ， ∴S△OPB=14×12=3 ， 设P的纵坐标为m， ∴S△OPB=12OB⋅m=3m=3 ， ∴m=1 ， ∵C(2,4) ， ∴ 直线OC的解析式为 y=2x ， 当点P在OC上时， x=12 ， ∴P(12,1) ， 当点P在BC上时， x=6−1=5 ， ∴P(5,1) ， 即：点 P(12,1) 或 (5,1) 解： ∵△OBP 是直角三角形， ∴∠OPB=90∘ ， 当点P在OC上时，由 (2) 知，直线OC的解析式为 y=2x① ， ∴ 直线BP的解析式的比例系数为 −12 ， ∵B(6,0) ， ∴ 直线BP的解析式为 y=−12x+3② ， 联立 ①② ，解得 {x=65y=125  ， ∴P(65,125) ， 当点P在BC上时，由 (1) 知，直线AB的解析式为 y=−x+6③ ， ∴ 直线OP的解析式为 y=x④ ，联立 ③④ 解得， {x=3y=3  ， ∴P(3,3) ， 即：点P的坐标为 (65,125) 或 (3,3) ．

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