题目

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度． 答案：解：（1）连接OD，如图： ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO， ∵AD平分∠CAB， ∴∠DAE＝∠OAD， ∴∠ADO＝∠DAE， ∴OD∥AE， ∵DE∥BC， ∴∠E＝90°， ∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°， ∴DE是⊙O的切线； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OF＝1，BF＝2， ∴OB＝3， ∴AF＝4，BA＝6． ∵DF⊥AB， ∴∠DFB＝90°， ∴∠ADB＝∠DFB， 又∵∠DBF＝∠ABD， ∴△DBF∽△ABD， ∴＝， ∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12． ∴BD＝2． 【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案； （2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．

查看本题答案和解析