题目

矩阵乘法运算 的几何意义为平面上的点 在矩阵 的作用下变换成点 ，记 ，且 . （1） 若平面上的点 在矩阵 的作用下变换成点 ，求点 的坐标； （2） 若平面上相异的两点A、B在矩阵M的作用下，分别变换为点 、 ，求证：若点P为线段 上的点，则点P在M的作用下的点 在线段 上； （3） 已知△ 的顶点坐标为 、 、 ，且△ 在矩阵 作用下变换成△ ，记△ 与△ 的面积分别为 与 ，求 的值，并写出一般情况（三角形形状一般化且变换矩阵一般化）下 与 的关系（不要求证明）. 答案： 解：设 A(x,y) ，则 (2−1−23)(xy)=(3−1) ， ∴ {2x−y=3,−2x+3y=−1, 解得： x=2,y=−1 ， ∴ A(2,1) . 解：设 A(x1,y1),B(x2,y2) ， P(x,y) ， ∵ A,B,P 三点共线，∴ y−y1x−x1=y−y2x−x2 ， ∵ M=(abcd) ，∴ A'(ax1+by1,cx1+dy1),B'(ax2+by2,cx2,+dy2) ， P'(ax+by,cx+dy) ， ∵ kP'A'=cx+dy−(cx1+dy1)ax+by−(ax1+by1)=c(x−x1)+d(y−y1)a(x−x1)+b(y−y1)=c+dy−y1x−x1a+by−y1x−x1 ， kP'B'=cx+dy−(cx2+dy2)ax+by−(ax2+by2)=c(x−x2)+d(y−y2)a(x−x2)+b(y−y2)=c+dy−y2x−x2a+by−y2x−x2 ， ∴ kP'B' =kP'A' ，∴点P在M的作用下的点 P′ 在线段 A′B′ 上. 解：∵ (12131415)(11)=(56920) ， (12131415)(−24)=(13310) ， (12131415)(39)=(925120) ， ∴ A'(56,920) ， B'(13,310) ， C'(92,5120) . ∴ 12|5692011331019251201| =12[56⋅(310−5120)−920(13−92)+(5160−2720)] =12[−225120+225120−12] =−14 . ∴ S2=|−14|=14 . 若矩阵为 M=(abcd) ，则 S2=abcdS1

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