题目

设复数 ， ， 其中. （1） 若复数为实数，求的值； （2） 求的取值范围． 答案： 解：由题意z=(cosθ+isinθ)⋅(1+i)=(cosθ−sinθ)+(cosθ+sinθ)i，若复数z=z1⋅z2为实数，则cosθ+sinθ=0，故tanθ=−1，又θ∈[0，π]，所以θ=3π4 解：由题意|z2+z1¯|=|(1+cosθ)+i(1−sinθ)|=(1+cosθ)2+(1−sinθ)2=1+cos2θ+2cosθ+1+sin2θ−2sinθ=3+22cos(θ+π4)由于θ∈[0，π]，故θ+π4∈[π4，5π4]所以−1≤cos(θ+π4)≤22，则3+22cos(θ+π4)∈[3−22，5]，所以|z2+z1¯|取值范围是[2−1，5]

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