题目

如图 【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC＝90°．易证：△DAP∽△PBC（不要求证明）． 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC． （1） 求证：△DAP～△PBC． （2） 若PD＝5，PC＝10，BC＝9，求AP的长． 【应用】如图③，在△ABC中，AC＝BC＝4，AB＝6，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作∠CPE＝∠A，PE与边BC交于点E．当CE＝3EB时，求AP的长． 答案： 证明：∵∠DPB＝∠A+∠ADP， ∴∠DPC+∠CPB＝∠A+∠ADP， ∵∠A＝∠DPC， ∴∠ADP＝∠CPB， ∵∠A＝∠B， ∴△DAP∽△PBC 解：∵△DAP∽△PBC， ∴ PDPC=APBC ， ∴ 510=AP9 ， ∴AP＝4.5； 【应用】∵AC＝BC， ∴∠A＝∠B， ∵∠CPE＝∠A， ∴∠A＝∠CPE＝∠B， 由探究得△CAP∽△PBE， ∴ ACBP ＝ APBE ， ∴AC•BE＝AP•BP， ∵BC＝4，CE＝3EB， ∴BE＝1， ∵AC＝4，BP＝AB﹣AP＝6﹣AP， ∴AP（6﹣AP）＝4， ∴AP＝3+ 5 或AP＝3﹣ 5

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