题目

已知函数 ， . （1） 若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围； （2） 当 时，求关于 的不等式 的解集. 答案： 解：由题意得 ax2−(a+1)x+1>−x−2 对 x∈R 恒成立 即 ax2−ax+3>0 对 x∈R 恒成立 若 a=0 ，则不等式 3>0 恒成立 若 a≠0 ，则 {a>0Δ=a2−12a<0 解得 0<a<12 ， 综上，实数 a 的取值范围为 [0,12) . 解：不等式 f(x)>0 为 (x−1)(ax−1)>0 ， 若 a=0 ，则不等式为 −(x−1)>0 ，∴ x<1 若 a>0 ，则不等式可化为 (x−1)(x−1a)>0 ， ①当 1a>1 即 0<a<1 时，不等式解为 x<1 或 x>1a ， ②当 1a=1 即 a=1 时，不等式解为 x≠1 ， ③当 1a<1 即 a>1 时，不等式解为 x>1 或 x<1a ， 若 a<0 ，则不等式可化为 (x−1)(x−1a)<0 解得 1a<x<1 ， 综上，当 a<0 时，不等式解集为 (1a,1) ， 当 a=0 时，不等式解集为 (−∞,1) ， 当 0<a<1 时，不等式解集为 (−∞,1)∪(1a,+∞) ， 当 a=1 时，不等式解集为 (−∞,1)∪(1,+∞) ， 当 a>1 时，不等式解集为 (−∞,1a)∪(1,+∞) .

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