题目

已知函数f(x)=|x|·(a-x)，a∈R. (1)当a=4时，画出函数f(x)的大致图象，并写出其单调增区间； (2)若函数f(x)在x∈[0，2]上是减函数，求实数a的取值范围； (3)若不等式|x|·(a-x)≤6对x∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围. 答案：.(1) 当a=4时，f(x)=函数f(x)的大致图象如图所示. 由图象知单调增区间为[0，2]. (第12题) (2)方法一：设0≤x1<x2≤2， 由f(x)在x∈[0，2]上单调递减，知f(x1)-f(x2)>0对任意0≤x1<x2≤2都成立，即(x1-x2)[a-(x1+x2)]>0，所以a<x1+x2对任意的0≤x1<x2≤2都成立，所以a≤0. 方法二：(数形结合方法)当x∈[0，2]时，f(x)=x(a-x)=-x2+ax=-+， 若函数f(x)在x∈[0，2]上是单调减函数，则≤0，所以a≤0. (3) 当x=0时，0≤6成立，所以a∈R； 当0<x≤2时，a-x≤，即a≤x+，只要a≤即可. 设g(x)=x+，g(x)在(0，]上单调递减，在[，+∞)上单调递增， 当0<x≤2时，g(x)min=g(2)=5， 所以a≤5. 综上，|x|(a-x)≤6对x∈[0，2]恒成立的实数a的取值范围是(-∞，5].

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