题目

已知x，y∈(-1，1).定义x*y= . （1） 求0* 及 * 的值； （2） 求证: x，y∈(-1，1)，x*y∈(-1，1)； （3） 若 ，求 的所有可能值构成的集合. 答案： 解：由定义 0∗13=0+131+0×13=13 ， 12∗13=12+131+12×13=57 ； 证明： ∵x,y∈(−1,1) ， ∴(x−1)(y−1)>0 ， 即 xy−x−y+1>0,xy+1>x+y ， 又 1+xy>0 ， ∴x+y1+xy<1 ， ∵(x+1)(y+1)>0 ，即 xy+x+y+1>0,xy+1>−(x+y) ， 又 1+xy>0 ， ∴x+y1+xy>−1 ， ∴−1<x+y1+xy<1 ，即 ∀x,y∈(−1,1),x∗y∈(−1,1) ； 解：由定义可知 x∗y=y∗x ，满足交换律， (x∗y)∗z=x+y1+xy∗z=x+y1+xy+z1+x+y1+xy⋅z=x+y+z+xyz1+xy+xz+yz ， x∗(y∗z)=x∗y+z1+yz=x+y+z1+yz1+x⋅y+z1+yz=x+y+z+xyz1+xy+xz+yz ， ∴(x∗y)∗z=x∗(y∗z) ，满足结合律， ∴x1∗x2∗x3∗x4∗x5∗x6 有唯一值， 即 x1∗x2∗x3∗x4∗x5∗x6=(−57)∗(−16)∗(−14)∗12∗13∗14 =(−57)+(−16)1+(−57)×(−16)∗(−14)+121+(−14)×12∗13+141+13×14 =(−3747)∗27∗713 =(−3747)+271+(−3747)×27∗713 =(−1117)∗713 =(−1117)+7131+(−1117)×713=−16 ， ∴ x1∗x2∗x3∗x4∗x5∗x6 的所有可能值构成的集合为 {−16} .

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