题目

直线l经过点A，在直线l上方， . （1）如图1，，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E.求证：（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若（为任意锐角或钝角），猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明. （3）如图3，过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF延长线上的一个动点，连结AD，作，使得，连结DE，CE.直线l与CE交于点G.求证：G是CE的中点. 答案：证明：∵ BD⊥l ， CE⊥l ， ∴ ∠BDA=∠AEC=90° ， ∴ ∠ABD+∠DAB=90° ∵ ∠BAC=90° ， ∴ ∠CAE+∠DAB=90° ∴ ∠ABD=∠CAE ，在 △ABD 与 △CAE 中 {∠BDA=∠AEC∠ABD=∠CAEAB=CA ， ∴ △ABD≌△CAE(AAS) 解：猜想： DE=BD+CE ， ∵ ∠BDA=∠BAC=α ∴ ∠ABD+∠DAB=180°−∠BDA=180°−α ， ∠CAE+∠DAB=180°−∠BAC=180°−α ∴ ∠ABD=∠CAE ，在 △ABD 与 △CAE 中 {∠BDA=∠AEC∠ABD=∠CAEAB=CA ∴ △ABD≌△CAE(AAS) ， ∴ BD=AE ， DA=EC ， ∴ DE=AE+DA=BD+CE 证明：分别过点C、E作 CM⊥l ， EN⊥l ，同（1）可证 △ABF≌△CAM ， △ADF≌△EAN ， ∴ AF=CM ， AF=EN ∴ CM=EN ， ∵ CM⊥l ， EN⊥l ， ∴ ∠CMG=∠ENG=90° 在 △CMG 与 △ENG 中 {∠CMG=∠ENG∠CGM=∠EGNCM=EN ∴ △CMG≌△ENG(AAS) ， ∴ CG=EG ， ∴G为CE的中点.

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