题目

已知函数 ． （1） 当且时，试判断函数的单调性； （2） 若在上是单调函数，求ab的最小值． 答案： 解：a>−1且b=1，f(x)=ex−12x2+ax，f′(x)=ex−x+a，令t(x)=f′(x)，t′(x)=ex−1所以在区间(−∞，0)，t′(x)<0，f′(x)递减；在区间(0，+∞)，t′(x)>0，f′(x)递增.所以f′(x)≥f′(0)=a+1>0，所以f(x)在R上递增. 解：f(x)=ex−12bx2+ax，f′(x)=ex−bx+a，依题意可知：f(x)在R上单调，则f(x)在R上递增，所以f′(x)=ex−bx+a≥0①在R上恒成立.t′(x)=ex−b，当b=0时，ab=0，当b<0时，t′(x)=ex−b>0，f′(x)在R上递增，x→−∞，f′(x)→−∞，与①矛盾.当b>0时，在区间(−∞，lnb)，t′(x)<0，f′(x)递减；在区间(lnb，+∞)，t′(x)>0，f′(x)递增，所以x=lnb时，f′(x)的最小值elnb−blnb+a=b−blnb+a≥0，a≥blnb−b，ab≥b2lnb−b2(b>0)，构造函数g(x)=x2lnx−x2(x>0)，g′(x)=x(2lnx−1)，所以g(x)在区间(0，e)，g′(x)<0，g(x)递减；在区间(e，+∞)，g′(x)>0，g(x)递增.所以当x=e时，g(x)也即ab取得最小值为e⋅lne−e=−e2

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