题目

已知函数f(x)=Asin2(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,0＜φ＜),且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2).(1)求φ；(2)计算f(1)+f(2)+…+f(2 008). 答案：思路分析:本题主要考查二倍角公式、函数y=Acos(ωx+φ)+B(A＞0,ω＞0)图象的性质.首先利用二倍角公式将函数的解析式化为y=Acos(ωx+φ)+B(A＞0,ω＞0)的形式，再利用它的图象的性质求出解析式即可；对于（2）则利用函数y=ACos(ωx+φ)+B(A＞0,ω＞0)的周期性求解.（1）解：y=Asin2(ωx+φ)=cos(2ωx+2φ).∵y=f(x)的最大值为2，A＞0,∴=2,A=2.又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0，∴,ω=.∴.∵y=f(x)过(1,2)点，∴cos(+2φ)=-1.∴+2φ=2kπ+π,k∈Z.∴2φ=2kπ+,k∈Z.∴φ=kπ+,k∈Z.又∵0＜φ＜,∴φ=.（2）解法一：∵φ=,∴y=1-cos(x+)=1+sinπx.∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4.又∵y=f(x)的周期为4，2 008=4×502，∴f(1)+f(2)+…+f(2 008)=4×502=2 008.解法二：∵f(x)=2sin2(x+φ),∴f(1)+f(3)=2sin2(+φ)+2sin2(+φ)=2,f(2)+f(4)=2sin2(+φ)+2sin2(π+φ)=2.∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4.又y=f(x)的周期为4,2 008=4×502,∴f(1)+f(2)+…+f(2 008)=4×502=2 008.方法归纳 在函数y=Asin（ωx+φ）+b中，相邻两个对称轴之间的距离为周期的一半，而A值可以通过最值体现出来.

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