题目

设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）已知x1=（e为自然对数的底数）和x2是函数f（x）的两个不同的零点，求a的值并证明：x2＞ ． 答案：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．求导数，得f′（x）=1x﹣a=1-axx．①若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）是（0，+∞）上的增函数，无极值；②若a＞0，令f′（x）=0，得x=1a．当x∈（0，1a）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；当x∈（1a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．∴当x=1a时，f（x）有极大值，极大值为f（1a）=ln1a﹣1=﹣lna﹣1．综上所述，当a≤0时，f（x）的递增区间为（0，+∞），无极值；当a＞0时，f（x）的递增区间为（0，1a），递减区间为（1a，+∞），极大值为﹣lna﹣1（Ⅱ）∵x1=e是函数f（x）的零点，∴f （e）=0，即12﹣ae=0，解得a=12e=e2e．∴f（x）=lnx﹣12ex．∵f（e32）=32﹣e2＞0，f（e52）=52﹣e22＜0，∴f（e32）•f（e52）＜0．由（Ⅰ）知，函数f（x）在（2e，+∞）上单调递减，∴函数f（x）在区间（e32，e52）上有唯一零点，因此x2＞e32．

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