题目

如图1，二次函数y= x2+bx+c与一次函数y= x﹣3的图象都经过x轴上点A（4，0）和y轴上点B（0，﹣3），过动点M（m，0）（0＜m＜4）作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点P． （1） 求b，c的值； （2） 点M在运动的过程中，能否使△PBC为直角三角形？如果能，求出点P的坐标；如果不能，请说明理由； （3） 如图2，过点P作PD⊥AB于点，设△PCD的面积为S1 ， △ACM的面积为2 ， 若 = ，①求m的值；②如图3，将线段OM绕点O顺时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接M'A、M'B，求M'A+ M'B的最小值． 答案： 解：由题意， {c=−312+4b+c=0 ，解得 {b=−94c=−3 解：若△PBC为直角三角形，显然∠PCB≠90°．①当∠PBC=90°时（如图1﹣1中），作PK⊥y轴于K，则∠PBK=∠BAO=90°﹣∠ABO，∴tan∠PBK= m−3(34m2−94m−3) = 34 ，解得m= 119 或0（舍弃），∴P（ 119 ，﹣ 12527 ），②当∠BPC=90°时（如图1﹣2中），BP∥x轴，当y=﹣3时， 34 m2﹣ 94 m﹣3=﹣3，解得m=3或0（舍弃），∴P（3，﹣3），综上所述，满足条件的点P坐标（ 119 ，﹣ 12527 ）或（3，﹣3） 解：①如图2中，∵PD⊥AB，PM⊥OA，∴∠PDC=∠AMC，∵∠PCD=∠ACM，∴△PCD∽△ACM，∴ S1S2 =（ PCAC ）2= 3625 ，∴ PCAC = 65 ，∵CM∥OB，∴ ACAB = AMAO ，∴AC= 54 （4﹣m），∵抛物线的解析式为y= 34 x2﹣ 94 x﹣3，∴PC= 34 m﹣3﹣（ 34 m2﹣ 94 m﹣3）=﹣ 34 m2+3m，∴ −34m2+3m54(4−m) = 65 ，解得m=2或4（舍弃），∴m=2．②如图3中，在y轴上取一点E，使得OE= 43 ，连接M′E，AE．∵OM′=2，OE•OB= 43 ×3=4，∴OM2=OE•OB，∴ OM′OB = OEOM′ ，∵∠M′OE=∠BOM′，∴△M′OE∽△BOM′，∴ M′EBM′ = OM′OB = 23 ，∴M′E= 23 BM′，∴AM′+ 23 BM′=AM′+M′E，∴当A、M′、E共线时，AM′+ 23 BM′的值有最小值=AE= 42+(43)2 = 43 10

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