题目

如图，在平面直角坐标系 中，点 分别是椭圆 的上、下顶点，线段 长为2，椭圆的离心率为 ． （1） 求该椭圆的方程； （2） 已知过点 的直线 与椭圆交于 两点，直线 与直线 交于点T． ①若直线l的斜率为 ，求点T的坐标； ②求证点T在一条定直线上，并写出该直线方程． 答案： 解： ∵B1B2=2b=2 ， ∴b=1 ， 又 e=ca=a2−b2a2=a2−1a2=32 ，解得： a=2 ， ∴ 椭圆的方程为 x24+y2=1 解：①由（1）可得： B2(0,1) ， B1(0,−1) ，设 M(x1,y1) ， N(x2,y2) ， 直线 l 方程为 y=12(x+1) ，代入椭圆方程整理得： 2x2+2x−3=0 解得： x1=−1+72 ， x2=7−12 ， x1x2=−32 ， ∴ 直线 MB2 方程为： y=12x1−12x1x+1 ；直线 NB1 方程为 y=12x2+32x2x−1 ， 由 {y=12x1−12x1x+1y=12x2+32x2x−1 得： x=4x1x23x1+x2=27−4 ， y=2 ， ∴T(27−4,2) ； ②设 M(x1,y1) ， N(x2,y2) ， 由 {y=kx+12x24+y2=1 整理可得： (1+4k2)x2+4kx−3=0 ， 则 x1+x2=−4k1+4k2 ， x1x2=−31+4k2 ， ∵ 直线 MB2 方程为 y=y1−1x1x+1 ；直线 NB1 方程为 y=y2−1x2x−1 ； ∴ 由 {y=y1−1x1x+1y=y2−1x2x−1 得： y−1y+1=y1−1x1⋅x2y2+1 ， 又 x224+y22=1 ， ∴(1+y2)(1−y2)=x224 ， ∴x2y2+1=4(1−y2)x2 ， ∴y−1y+1=−4(y1−1)(y2−1)x1x2=−4(kx1−12)(kx2−12)x1x2=−4⋅k2x1x2−k2(x1+x2)+14x1x2 =−4⋅−3k21+4k2+2k21+4k2+14−31+4k2=−4×−3k2+2k2+14+k2−3=13 ， ∴y=2 ， ∴T 在定直线 y=2 上.

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