题目

设 为 的三边，求证：方程 与 有公共根的充要条件是 . 答案：解：充分性：∵∠A＝90°， ∴a2＝b2＋c2.于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，    ∴x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0.∴[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0. ∴该方程有两根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)， 同样另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，∴该方程有两根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a). 可以发现，x1＝x3， ∴方程有公共根. 必要性：设x是方程的公共根，则 {x2+2ax+b2=0,①x2+2cx−b2=0,② 由①＋②，得x＝－(a＋c)，x＝0(舍去).代入①并整理，可得a2＝b2＋c2.∴∠A＝90°. 综上,方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°

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