题目

如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补. （1） 试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由； （2） 如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH； （3） 如图3，在(2)的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由. 答案： 解：如图1，∵∠1与∠2互补， ∴∠1+∠2=180°. 又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE， ∴∠AEF+∠CFE=180°， ∴AB∥CD 证明：如图2，由（1）知，AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFD=180°. 又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P， ∴∠FEP+∠EFP= 12 （∠BEF+∠EFD）=90°， ∴∠EPF=90°，即EG⊥PF. ∵GH⊥EG， ∴PF∥GH 解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下： 如图3，∵∠1=∠2， ∴∠3=2∠2. 又∵GH⊥EG， ∴∠4=90°-∠3=90°-2∠2. ∴∠EPK=180°-∠4=90°+2∠2. ∵PQ平分∠EPK， ∴∠QPK= 12 ∠EPK=45°+∠2. ∴∠HPQ=∠QPK-∠2=45°， ∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°.

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