题目

已知直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R． （1） 求证：直线l恒过定点； （2） 当m变化时，求点P（3，1）到直线l的距离的最大值； （3） 若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程． 答案： 证明：直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R． 化为：m（﹣x+2y+3）+（2x+y+4）=0，令 {−x+2y+3=02x+y+4=0 ，解得 {x=−1y=−2 ，则直线l经过定点Q（﹣1，﹣2） 解：当m变化时，PQ⊥直线l时， 点P（3，1）到直线l的距离的最大= (−1−3)2+(−2−1)2 =5 解：由于直线l经过定点Q（﹣1，﹣2）．直线l的斜率k存在且k≠0， 因此可设直线l的方程为y+2=k（x+1），可得与x轴、y轴的负半轴交于A（ 2−kk ，0），B（0，k﹣2）两点， 2−kk ＜0，k﹣2＜0，解得k＜0．∴∴S△OAB= 12 × k−2k ×（2﹣k）= 12[4+(−k+4−k)] ≥2+ 12×2(−k)⋅4−k =4，当且仅当k=﹣2时取等号．此时直线l的方程为：y+2=﹣2（x+1），化为：2x+y+4=0

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