题目

已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0(t是实数)表示的图形是圆.(1)求实数t的取值范围;(2)求其中面积最大的圆的方程;(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内,求t的取值范围. 答案：思路点拨：本题所给的方程是圆的一般方程,需要根据它表示圆的充要条件判断t的范围,也可以把它转化为标准方程,再进行处理.解：(1)方程可以转化为(x-t-3)2+(y+1-4t2)2=(t+3)2+(1-4t2)2-16t4-9,则半径的平方为r2=-7t2+6t+1＞0,所以-＜t＜1.(2)因为r=,所以当t=∈(-,1)时,半径取最大值.此时面积最大,所对应的圆的方程为(x-)2+(y+)2=.(3)当且仅当32+(4t2)2-2(t+2)×3+2(1-4t2)(4t2)+16t4+9＜0时,点P在圆内.所以8t2-6t＜0,即0＜t＜.

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