题目

如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1） 求抛物线的解析式； （2） 若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值； （3） 在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解：将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=x2+bx+c中， 得： {0=9+3b+c3=c ，解得： {b=−4c=3 ，∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3 解：设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），设直线BC的解析式为y=kx+3， 把点点B（3，0）代入y=kx+3中，得：0=3k+3，解得：k=﹣1，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵MN∥y轴，∴点N的坐标为（m，﹣m+3）．∵抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为x=2，∴点（1，0）在抛物线的图象上，∴1＜m＜3．∵线段MN=﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）=﹣m2+3m=﹣ (m−32)2 + 94 ，∴当m= 32 时，线段MN取最大值，最大值为 94 解：假设存在．设点P的坐标为（2，n）． 当m= 32 时，点N的坐标为（ 32 ， 32 ），∴PB= (2−3)2+(n−0)2 = 1+n2 ，PN= (2−32)2+(n−32)2 ，BN= (3−32)2+(0−32)2 = 322 ．△PBN为等腰三角形分三种情况：①当PB=PN时，即 1+n2 = (2−32)2+(n−32)2 ，解得：n= 12 ，此时点P的坐标为（2， 12 ）；②当PB=BN时，即 1+n2 = 322 ，解得：n=± 142 ，此时点P的坐标为（2，﹣ 142 ）或（2， 142 ）；③当PN=BN时，即 (2−32)2+(n−32)2 = 322 ，解得：n= 3±172 ，此时点P的坐标为（2， 3−172 ）或（2， 3+172 ）．综上可知：在抛物线的对称轴l上存在点P，使△PBN是等腰三角形，点P的坐标为（2， 12 ）、（2，﹣ 142 ）、（2， 142 ）、（2， 3−172 ）或（2， 3+172 ）

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