题目

我们知道对数函数f（x）=logax，对任意x，y＞0，都有f﹙xy﹚=f﹙x﹚+f﹙y﹚成立，若a＞1，则当x＞1时，f﹙x﹚＞0，参照对数函数的性质，研究下题；定义在﹙0，+∞﹚上的函数f﹙x﹚对任意x，y∈﹙0，+∞﹚都有f﹙xy﹚=f﹙x﹚+f﹙y﹚，并且当且仅当x＞1时，f﹙x﹚＞0成立， （1） 设x，y∈﹙0，+∞﹚，求证：f﹙ ﹚=f﹙y﹚﹣f﹙x﹚； （2） 设x1 ， x2∈﹙0，+∞﹚，若f﹙x1﹚＞f﹙x2﹚，比较x1与x2的大小． 答案： 证明：令x=y=1，则由f﹙xy﹚=f﹙x﹚+f﹙y﹚知， f﹙1﹚=f﹙1﹚+f﹙1﹚，解得，f（1）=0，令y= 1x ，则f（x• 1x ）=f（x）+f（ 1x ）=0，即f（ 1x ）=﹣f（x），故f﹙ yx ﹚=f（y）+f（ 1x ）=f﹙y﹚﹣f﹙x﹚ 设x1，x2∈﹙0，+∞﹚，且x1＜x2，则 f（x1）﹣f（x2）=f（x1）﹣f（x1• x2x1 ）=f（x1）﹣[f（x1）+f（ x2x1 ）]=﹣f（ x2x1 ），∵0＜x1＜x2，∴ x2x1 ＞1，∴﹣f（ x2x1 ）＜0，即f（x）在﹙0，+∞﹚上是增函数，又∵f﹙x1﹚＞f﹙x2﹚，∴x1＞x2

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