题目

在平面直角坐标系中，点 、 分别是 、 轴正半轴上的两点，点 、 ，且满足 ． （1） 如图1，求点 的坐标． （2） 如图2，过点 作射线 轴，点 为射线 上一点，以 为直角边，在射线 的下方， 轴的右侧，构造等腰 ，设 的长为 ，四边形 的面积为 ，求 与 之间的关系式，并用含 的代数式表示出 点坐标． （3） 如图3所示，在（2）的条件下，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，连接 交 于点 ，求线段 的长． 答案： 解： (a2−8a+16)+(b2−10b+25)=0 ∴(a−4)2+(b−5)2=0 ∴a=4，b=5 ∴2a−3=5 ， ∴A(5，0) 分两种情况讨论， 第一种情况，如图 ∴B(0，5)，CB=t ∴CO=DC=52+t2 S四边形OBCD=S△OBC+S△OCD=12×5t+12×52+t2×52+t2=t22+5t2+252 ∵∠BCO+∠QCD=90°，∠BCO+∠BOC=90° ∴∠QCD=∠BOC ∵OC=CD，∠OBC=∠CQD=90° ∴△OBC≅△CQD(AAS) ∴CQ=OB=5，QD=BC=t ∴D(5+t，5−t) 第二种情况，如图， ∴B(0，5)，CB=t ∴CO=OD=52+t2 ∵∠BCO+∠BOC=90°，∠BOC+∠QOD=90° ∴∠BOC=∠QDO ∵OC=OD，∠OBC=∠DQO=90° ∴△OBC≅△DQO(AAS) ∴DQ=OB=5，OQ=BC=t ∴D(5，−t) 同理可得： S四边形OBCD=S△OBC+S△OCD=12×5t+12×52+t2×52+t2=t22+5t2+252 综上所述， D(5+t，5−t) 或 D(5，−t) ； 如图， 延长 HO 至 K ，使得 KO=HD ， ∵∠OCD=∠OHD=90° ∴∠COK+∠COH=∠CDH+∠COH=180° ∴∠COK=∠CDH ∵CO=CD ∵KO=HD ∴△OKC≅△DHC(SAS) ∴CK=CH ∴∠CKH=∠KHC=∠COD=∠CDO=∠CHD=45° 连接OE， ∵∠OHE=∠OAE=45° ， ∴H，A，E，O 四点共圆， ∴∠OEA+∠OHA=180°，   ∵∠OHA=90°，   ∴∠OEA=90° ∴OE⊥AB ∵△OAB 为等腰直角三角形，且 OE⊥AB ∴AE=BE ∵AB=52+52=52，   ∴BE=522 .

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