题目

在平面直角坐标系中， 是坐标原点，直线 分别交 轴， 轴于 、 两点. （1） 求直线 的解析式； （2） 点 为直线 上一动点，以 为顶点的抛物线 与直线 的另一交点为 (如图1)，连 、 ，在点 的运动过程中 的面积 是否变化，若变化，求出 的范围；若不变，求出 的值； （3） 平移(2)中的抛物线，使顶点为 ，抛物线与 轴的正半轴交于点 (如图2) ， ， 为抛物线上两点，若以 为直径的圆经过点 ，求直线 经过的定点 的坐标. 答案： 解：∵直线 y=mx+n 分别交 x 轴， y 轴于 A(4,0) 、 B(0,3) 两点. ∴把 A(4,0) 、 B(0,3) 两点代入直线 y=mx+n 可得： {0=4m+n3=n  解得： {m=−34n=3 ∴直线解析式为： y=−34x+3 解：由题意设 C(t,−34t+3) 过线段 AB 上的点 C 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 P ， ∴ 以 C 为顶点的抛物线解析式是 y=(x−t)2−34t+3 ，由 (x−t)2−34t+3=−34x+3 解得 x1=t ， x2=t−34 . 过点 D 作 DE⊥CO 于点 E ，则 ∠DEC=∠AOB=90∘ ∵DE//OA ∴∠EDC=∠OAB ∴ΔDEC~ΔAOB ∴DEAO=CDBA ∵AO=4 ， AB=5 ， DE=t−(t−34)=34 ∴CD=DE×BAOA=34×54=1516 ∵CD 边上的高 =3×45=125 ∴SΔCOD=12×1516×125=98 ， ∴SΔCOD 为定值. 解：由题意得：抛物线解析式为 y=x2−4 ，可解得 G(2,0) . 设 N(x1,y1) 、 M(x2,y2) ， ∵∠MGN=90∘ ，过点 M 作 MF⊥x 轴于 F ，过点 N 作 NH⊥x 轴于 H ， ∴ΔMFG~ΔGHN ∴y1x2−2=2−x1y2 ， y1y2=(x2−2)(2−x1) ， 又 y1=x12−4 ， y2=x22−4 代入上式简化得 (x2+2)(x1+2)=−1 ，即 x1x2+2(x1+x2)+4=−1 设直线 MN 的解析式为 y=kx+b 联立 {y=kx+by=x2−4 得： x2−kx−4−b=0 ， ∴x1+x2=k ， x1x2=−4−b ∴−4−b+2k+4=−1 ， 2k−b=−1 ， −2k+b=1 ， 即当 x=−2 时， y=−2k+b=1 ∴ 直线 MN 必过点 Q(−2,1) .

查看本题答案和解析