题目

已知在平面直角坐标系 中，直线l的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，点 的极坐标是 . （1） 求直线l的极坐标方程及点 到直线l的距离； （2） 若直线l与曲线 交于 ， 两点，求 的面积. 答案： 由 {x=12ty=32t 消去 t ，得到 y=3x ，则 ρsinθ=3ρcosθ ，∴ tanθ=3 所以直线l的极坐标方程为 θ=π3(ρ∈R) ． 所以点 (4,π2) 到直线l的距离为 d=4sin(π2−π3)=2 ． 由 {ρ2+2ρsinθ−3=0ρ=π3 得 ρ2+3ρ−3=0 ，设 A(ρ1,π3) ， B(ρ2,π3) ， 所以 ρ1ρ2=−3 ， ρ1ρ2=−3 ，所以 |AB|=|ρ1−ρ2|=(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=15 ； 所以 △PAB 的面积 S=12|AB|d=12×15×2=15 .

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