题目

如图，在四面体 中， 平面 ，面 面 ． （1） 求证： 平面 ； （2） 若 ， ，求异面直线 与 所成角的正弦值． 答案： 解：在四面体 PABC 中，∵ PA⊥ 平面 ABC ，∴ PA⊥BC ， 又面 PAC⊥ 面 PBC ，在平面 PAC 中，过 A 作 AE⊥PC ， 则 AE⊥ 平面 PBC ，∴ AE⊥BC ， 而 AE∩​PA=A ，∴ BC⊥ 平面 PAC 解：分别取 PB ， BC ， AC 中点 F ， G ， H ， 连接 FG ， GH ， FH ，则 FG//PC ， GH//AB ， 则 ∠FGH 为异面直线 AB 与 PC 所成角. 由 PA=AB=2 ， BC=1 ，得 AC=3 ， PC=7 ， FH=52 . 则 FG=72 ， GH=1 ， 在 ΔFGH 中，由余弦定理可得： cos∠FGH=1+74−542×1×72=3714 . ∴异面直线 AB 与 PC 所成角的正弦值 sin∠FGH=1−(3714)2=13314 .

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