题目

已知函数 . （1） 解不等式 ； （2） 记函数 的最小值为 ，若 均为正实数，且 ，求 的最小值. 答案： 当 x≤−1 时， f(x)=1−2x−x−1=−3x≥3 ，解得： x≤−1 ； 当 −1<x<12 时， f(x)=1−2x+x+1=−x+2≥3 ，解得： x≤−1 （舍）； 当 x≥12 时， f(x)=2x−1+x+1=3x≥3 ，解得： x≥1 ； 综上所述： f(x)≥3 的解集为 (−∞，−1]∪[1，+∞) . 由（1）知： f(x)={−3x，x≤−1−x+2，−1<x<123x，x≥12 ； ∴ 当 x=12 时， f(x) 取得最小值 32 ，即 m=32 ， ∴12a+b+32c=32 ， 即 a+2b+3c=3 ， 由柯西不等式知： (a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2 （当且即当 a=b2=c3 时取等号）， ∴a2+b2+c2≥914 ， ∴a2+b2+c2 的最小值为 914 .

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