题目

定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为y= ． （1） 已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值； （2） 已知二次函数y=﹣x2+4x﹣ ．①当点B（m， ）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣ 的相关函数的最大值和最小值； （3） 在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣ ，1），（ ，1），连结MN．直接写出线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围． 答案： 解：函数y=ax﹣3的相关函数为y= {−ax+3(x<0)ax−3(x≥0) ，将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，解得：a=1． 解：二次函数y=﹣x2+4x﹣ 12 的相关函数为y= {x2−4x+12(x<0)−x2+4x−12(x≥0)①当m＜0时，将B（m， 32 ）代入y=x2﹣4x+ 12 得m2﹣4m+ 12 = 32 ，解得：m=2+ 5 （舍去）或m=2﹣ 5 ．当m≥0时，将B（m， 32 ）代入y=﹣x2+4x﹣ 12 得：﹣m2+4m﹣ 12 = 32 ，解得：m=2+ 2 或m=2﹣ 2 ．综上所述：m=2﹣ 5 或m=2+ 2 或m=2﹣ 2 ．②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+ 12 ，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，∴此时y的最大值为 432 ．当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣ 12 ，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为﹣ 12 ，当x=2时，有最大值，最大值y= 72 ．综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣ 12 的相关函数的最大值为 432 ，最小值为﹣ 12 ； 解：如图1所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．所以当x=2时，y=1，即﹣4+8+n=1，解得n=﹣3．如图2所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点∵抛物线y=x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，∴﹣n=1，解得：n=﹣1．∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=﹣x2+4x+n经过点（0，1），∴n=1．如图4所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x2﹣4x﹣n经过点M（﹣ 12 ，1），∴ 14 +2﹣n=1，解得：n= 54 ．∴1＜n≤ 54 时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤ 54 ．

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