题目

设正整数数列 满足 . （1） 若 ，请写出所有可能的 的取值； （2） 求证： 中一定有一项的值为1或3； （3） 若正整数m满足当 时， 中存在一项值为1，则称m为“归一数”，是否存在正整数m，使得m与 都不是“归一数”？若存在，请求出m的最小值；若不存在，请说明理由. 答案： 解：由题知：数列 {an} 各项均为正整数， a5=1⇒a42=1 或 a4+3=1 ，解得： a4=2 或 a4=−2 （舍去）. a4=2⇒a32=2 或 a3+3=2 ，解得： a3=4 或 a3=−1 （舍去）. a3=4⇒a22=4 或 a2+3=4 ，解得： a2=8 或 a2=1 . 当 a2=8 时， a12=8 或 a1+3=8 ，解得： a1=16 或 a1=5 . 当 a2=1 时， a12=1 或 a1+3=1 ，解得： a1=2 或 a1=−2 （舍去）. 故 a1 可能取得值为： 2 ， 5 ， 16 解：因为 {an} 为正整数数列，设 {an} 中最小的奇数为 ak ， 所以 ak+1=ak+3 为偶数. 所以 ak+2=ak+12=ak+32 ，此时 ak+2 可能为奇数或偶数. 当 ak+2 为奇数时，则 ak+32≥ak ，解得： ak≤3 . 所以 ak=1 或 ak=3 . 当 ak+2 为偶数时，则 ak+32m≥ak ，解得： ak≤32m−1≤3 . 所以 ak=1 或 ak=3 . 综上所述： {an} 中一定有一项的值为 1 或 3 . 解：由（2）知： {an} 中一定有 3 ，由题知： 因为 an={an−12,an−1为偶数an−1+3,an−1为奇数 ， 所以 an−1=2an 或 an−1=an−3 . 设 ap=3 ，则 ap−1=6 ， ap−2=12 ，…….均为 3 的倍数. 故不存在正整数m，使得m与 m+1 都不是“归一数”.

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