题目

已知函数 ， ， . （1） 若 ，试判断并证明函数 的单调性； （2） 当 时，求函数 的最大值的表达式 . 答案： 解：当 a=1 时， f(x)=|x−a|−9x+a=x−9x ， 在区间 [1,6] 上任意取 x1 ， x2 ，且 x1<x2 ， 则 f(x1)−f(x2)=(x1−9x1)−(x2−9x2) =(x1−x2)−(9x1−9x2) =(x1−x2)(x1x2+9)x1x2<0 ， 所以 f(x1)<f(x2) ，即 f(x) 在 [1,6] 上是增函数； 解：因为 a∈(1,6) ， 所以 f(x)={2a−(x+9x),1≤x≤ax−9x,a<x≤6 ， ①当 1<a≤3 时， f(x) 在 [1,a] 上是增函数，在 [a,6] 上也是增函数， 所以当 x=6 时， f(x) 取得最大值为 92 ； ②当 3<a<6 时， f(x) 在 [1,3] 上是增函数，在 [3,a] 上是减函数，在 [a,6] 上是增函数， 而 f(3)=2a−6 ， f(6)=92 ， 当 3<a<214 时， 2a−6≤92 ，当 x=6 时，函数 f(x) 取最大值为 92 ； 当 214<a<6 时， 2a−6>92 ，当 x=3 时，函数 f(x) 取最大值为 2a−6 . 综上得， M(a)={92,1<a≤2142a−6,214<a<6 .

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