题目

已知函数 ，其中 . （1） 当 时，求曲线 在点 处切线的方程； （2） 当 时，求函数 的单调区间； 答案： 解：当 a=2 时，则函数 f(x)=12x2−(2+12)x+lnx=12x2−52x+lnx ， 则 f′(x)=x−52+1x ，则 f′(1)=1−52+1=−12,f(1)=12×12−52×1+ln1=−2 ， 曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处切线的方程为 y−(−2)=−12(x−1) ， 整理得： x+2y+3=0 . 故得解 解：由函数 f(x)=12x2−(a+1a)x+lnx ，则 f'(x)=x−(a+1a)+1x=(x−a)(x−1a)x(x>0) ， 令 f'(x)=0 ， x=a ， x=1a ，又 a>0 且 a≠1 ， ①若 0<a<1 ， a<1a ，当 x 变化时， f'(x) ， f(x) 的变化情况如下表： x (0,a) a (a,1a) 1a (1a,+∞) f'(x) + 0 −   0   +   f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以 f(x) 在区间 (0,a) 和 (1a,+∞) 内是增函数，在 (a,1a) 内是减函数. ②若 a>1 ， 1a<a ，当 x 变化时， f'(x) ， f(x) 的变化情况如下表： x (0,1a) 1a (1a,a) a (a,+∞) f'(x) +   0   −   0   +   f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以 f(x) 在 (0,1a) 和 (a,+∞) 内是增函数，在 (1a,a) 内是减函数. 综上可得： 0<a<1 时， f(x) 在区间 (0,a) 和 (1a,+∞) 内是增函数，在 (a,1a) 内是减函数； a>1 时， f(x) 在 (0,1a) 和 (a,+∞) 内是增函数，在 (1a,a) 内是减函数

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