题目

如图所示，半径为L的金属圆环内部等分为两部分，两部分各有垂直于圆环平面、方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B0 ， 与圆环接触良好的导体棒绕圆环中心O匀速转动。圆环中心和圆周用导线分别与两个半径为R的D形金属盒相连，D形盒处于真空环境且内部存在着磁感应强度为B的匀强磁场，其方向垂直于纸面向里。t=0时刻导体棒从如图所示位置开始运动，在导体棒开始转动的半周内有一束相同粒子从D形盒内中心附近A处均匀飘入（可忽略粒子的初速度）宽度为d的狭缝，粒子质量为m，电荷量为-q（q>0），粒子每次通过狭缝都能得到加速，最后恰好从D形盒边缘出口射出。不计粒子重力及粒子间的相互作用，忽略粒子在狭缝中运动的时间，导体棒始终以最小角速度 （未知）匀速转动，求： （1） 的大小； （2） 考虑实际情况，粒子在狭缝中运动的时间不能忽略，求粒子从飘入狭缝一直加速至动能达到最大的过程中，粒子在狭缝中的加速时间 ； （3） 在第（2）问情景下，要使飘入的粒子有99%能射出，求狭缝宽度d满足的条件。 答案： 根据洛伦兹力提供向心力 qvB=mv2r T=2πrv 棒的最小角速度 ω=2πT 解得 ω=qBm 设粒子离开出口时的速度为 v1 ，在电场中的加速时间为 Δt ，则 qv1B=mv12R 粒子在电场中的加速度 a=qEm E=Ud U=12B0ωL2 又因为 v=aΔt 解得 Δt=2BRdB0ωL2 只有在0~（ T2−Δt ）时间内飘入的粒子才能每次均被加速，则所占的比例为 η=T2−ΔtT2 由 η>99% 解得 d<πmB0ωL2200qB2R

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