题目

已知 ，函数 . （1） 求 的值，使得 为奇函数； （2） 若 且 对任意 都成立，求 的取值范围. 答案： 解：由题意可知 f(x) 的定义域为 R ，因此，若 f(x) 为奇函数，则 f(0)=0 ， 即 1−a1+a=0 ，所以 a=1 ； 解：由 f(x)<a−23 对任意 x∈R 都成立，可得 2x−a2x+a<a−23 对任意 x∈R 都成立； 当 a=0 时， 1<−23 显然不成立，所以 a>0 ； 因此 2x−a2x+a<a−23 对任意 x∈R 都成立，等价于 (5−a)2x<a2+a ； 当 a=5 时， 0<30 显然成立；所以 a=5 符合题意； 当 a>5 时，有 2x>a2+a5−a 对任意 x∈R 都成立，则 a2+a5−a=a(a+1)5−a≤0 显然成立，所以 a>5 符合题意； 当 a<5 时，有 2x<a2+a5−a 对任意 x∈R 都成立，因为 x∈R 时， 2x∈(0，+∞) ，因此有 2x<a2+a5−a 对任意 x∈R 不能恒成立，故 a<5 不符合题意； 综上， a 的取值范围为 a≥5  .

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