题目

如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC． （Ⅰ）求证：AM⊥平面EBC； （Ⅱ）求二面角A﹣EB﹣C的大小．   答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定． 【专题】空间位置关系与距离；空间角． 【分析】几何法： （Ⅰ）由已知得AM⊥EC，AC⊥BC，由此能证明AM⊥平面EBC． （Ⅱ）过A作AH⊥EB于H，连结HM，由已知得∠AHM是二面角A﹣EB﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣EB﹣C的大小． 向量法： （Ⅰ）以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能证明AM⊥平面EBC． （2）求出平面EAB的法向量和平面EBC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣EB﹣C的大小． 【解答】（本小题满分12分） 几何法： （Ⅰ）证明：∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥EC， 又∵平面ACDE⊥平面ABC，∴AC⊥BC， ∴BC⊥平面EAC，… ∵BC⊄平面EAC，∴BC⊥AM， 又∵EC∩BC=C，∴AM⊥平面EBC．… （Ⅱ）解：过A作AH⊥EB于H，连结HM， ∵AM⊥平面EBC，∴AM⊥EB，∴EB⊥平面AHM， ∴∠AHM是二面角A﹣EB﹣C的平面角，… ∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB， 在Rt△EAB中，AH⊥EB，有AE•AB=EB•AH， 设EA=AC=BC=2a，得，AB=2a，EB=2a，∴=， ∴sin=，∴∠AHM=60°． ∴二面角A﹣EB﹣C等于60°．… 向量法： （Ⅰ）证明：∵四边形ACDE是正方形，∴EA⊥AC， ∵平面ACDE⊥平面ABC，EA⊥平面ABC，… ∴以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴， 分别以直线AC和AE为y轴和z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz， 设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2）， M是正方形ACDE的对角线的交点，M（0，1，1），… =（0，1，1），=（0，2，﹣2），， ∴，∴AM⊥EC，AM⊥BC， 又EC∩BC=C，∴AM⊥平面EBC．… （2）设平面EAB的法向量为，则， ∴，取y=﹣1，则x=1，则=（1，﹣1，0），… 又∵为平面EBC的一个法向量， ∴cos＜＞==﹣， 设二面角A﹣EB﹣C的平面角为θ，则cosθ=|cos＜＞|=，∴θ=60°， ∴二面角A﹣EB﹣C等于60°．… 【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．  

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