题目

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2）．点M是边BC上的一个动点（不与B、C重合），反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过点M且与边AB交于点N ， 连接MN ． （1） 当点M是边BC的中点时． ①求反比例函数的表达式； ②求△OMN的面积； （2） 在点M的运动过程中，试证明： 是一个定值． 答案： 解：①∵点B(4，2)，且四边形OABC是矩形， ∴OC＝AB＝2，BC＝OA＝4， ∵点M是BC中点， ∴CM＝2， 则点M(2，2)， ∴反比例函数解析式为y＝ 4x ； ②当x＝4时，y＝ 4x ＝1， ∴N(4，1)， 则CM＝BM＝2，AN＝BN＝1， ∴S△OMN＝S矩形OABC﹣S△OAN﹣S△COM﹣S△BMN ＝4×2﹣ 12 ×4×1﹣ 12 ×2×2﹣ 12 ×2×1 ＝3； 证明：设M(a，2)， 则k＝2a， ∴反比例函数解析式为y＝ 2ax ， 当x＝4时，y＝ a2 ， ∴N(4， a2 )， 则BM＝4﹣a，BN＝2﹣ a2 ， ∴ MBNB ＝ 4−a2−a2 ＝ 4−a4−a2 ＝2．

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