题目

如图，四棱锥中，四边形为菱形， ， ， . （1） 证明：平面； （2） 求点D到平面PBC的距离h. 答案： 证明：连接AC，因为四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，所以三角形ABC为正三角形，所以AC=AB=2.因为PA=23，PB=PC=2AB=4，所以PA2+AB2=(23)2+22=16=PB2，PA2+AC2=(23)2+22=16=PC2，所以PA⊥AB，PA⊥AC.因为AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD. 解：因为四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，AB=2，所以S△BCD=12BC⋅CD⋅sin120°=12×2×2×32=3.在△PBC中，PB=PC=4，BC=2，所以S△PBC=12×2×42−12=15.因为V三棱锥P−BCD=V三棱锥D−PBC，所以13S△BCD⋅PA=13S△PBC⋅h，所以6=15h，解得h=2155.

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