题目

知函数 ,其中 且 （1） 当 时，求函数的值域； （2） 当 在区间 上为增函数时，求 的取值范围。 答案： 解：当 a=12 时， f(x)=log12(12x2−x+1)=log12[12(x−1)2+12] ， 由二次函数性质可知 12(x−1)2+12 的最小值为 12 ， 因为函数 f(x)=log12[12(x−1)2+12] 是减函数， 所以函数 f(x) 有最大值 f(12)=log1212=1， 函数的值域为 (−∞,1] 解：令 g(x)=ax2−x+1 ， 当 a>1 时， f(x) 在区间 (14，32) 上为增函数， 即 g(x)=ax2−x+1 在区间 (14，32) 上为增函数， 故二次函数对称轴在区间 (14，32) 的左侧且 g(14)≥0 ， {−−12a≤14a(14)2−14+1≥0  ，解得 a∈[2,+∞) ； 当 0<a<1 时， f(x) 在区间 (14，32) 上为增函数， 即 g(x)=ax2−x+1 在区间 (14，32) 上为减函数， 故二次函数对称轴在区间 (14，32) 的右侧且 g(32)≥0 ， {−−12a≥32a(32)2−32+1≥0  ，解得 a∈[29,13] ， 综上所述， a 的取值范围为 [29,13]∪​[2,+∞)

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