题目

已知函数 是偶函数. （1） 求k的值； （2） 设 ，若函数 与 的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围. 答案： 解：由函数 f(x) 是偶函数可知： f(x)=f(−x) ，∴ log4(4x+1)+kx=log4(4−x+1)−kx ， log44x+14−x+1=x=−2kx ，即 x=−2kx 对一切 x∈R 恒成立，∴ k=−12 . 解：函数 f(x) 与 g(x) 的图象有且只有一个公共点， 即方程 log4(4x+1)−12x=log4(a⋅2x−43a) 有且只有一个实根. 化简得：方程 2x+12x=a⋅2x−43a 有且只有一个实根. 令 t=2x>0 ，则方程 (a−1)t2−43at−1=0 有且只有一个正根， 当 a=1 时， t=−34 ，不合题意； 当 a≠1 且 Δ=(43a)2+4(a−1)=0 ，解得 a=34 或 a=−3 . 若 a=34 ， t=−12 ，不合题意；若 a=−3 ， t=12 满足； 当 a≠1 且 Δ=(43a)2+4(a−1)>0 时，即 a>34 或 a<−3 且 −1a−1<0 ，故 a>1 ； 综上，实数a的取值范围是 {−3}∪(1,+∞) .

查看本题答案和解析