题目

如图1，已知直线y=kx与抛物线交于点A（3，6）． （1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度； （2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由； （3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？ 答案：（1）y=2x, （2）线段QM与线段QN的长度之比是一个定值2（3）当时，E点只有1个，当时，E点有2个 【解析】解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，即k=2。  ∴y=2x。 ∴。 （2）线段QM与线段QN的长度之比是一个定值， 理由如下： ∴线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。 （3）如图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R。 ∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF。 ∴OC=AC=。 ∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC， ∴△AOR∽△FOC。∴。∴OF=。 ∴点F（，0）。 设点B（x，），过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF。 ∴，即。 解得x1=6，x2=3（舍去）。∴点B（6，2）。 ∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4。∴AB=5。 在△ABE与△OED中，∵∠BAE=∠BED，∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB。 ∴∠ABE=∠DEO。 ∴顶点为。 如图3， 当时，OE=x=，此时E点有1个； 当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个． ∴当时，E点只有1个，当时，E点有2个。

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