题目

如图，四棱锥 的底面 是边长为2的正方形，平面 平面 ，点 是 的中点，棱 与平面 交于点 . （1） 求证： ； （2） 若 是正三角形，求三棱锥 的体积. 答案： 证明：因为底面 ABCD 是边长为2的正方形，所以 BC//AD .又因为 BC⊄ 平面 PAD ， AD⊂ 平面 PAD ，所以 BC// 平面 PAD又因为 B，C，E，F 四点共面，且平面 BCEF∩​ 平面 PAD=EF ，所以 BC//EF .又因为 BC//AD ，所以 AD//EF . 解：因为 AD//EF ，点 E 是 PD 的中点，所以点 F 为 PA 的中点， EF=12AD=1 .又因为平面 PAB⊥ 平面 ABCD ，平面 PAB∩​ 平面 ABCD=AB，AD⊥AB ，所以 AD⊥ 平面 PAB ，所以 EF⊥ 平面 PAB .又因为 ΔPAB 是正三角形，所以 PA=PB=AB=2 ，所以 SΔPBF=12SΔPBA=32 .又 EF=1 ，所以 VP−BEF=VB−PEF=13×32×1=36 .故三棱锥 P−BEF 的体积为 36 .

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