题目

如图1，在等腰 中， ， ， 分别为 ， 的中点， 为 的中点， 在线段 上，且 。将 沿 折起，使点 到 的位置（如图2所示），且 。 （1） 证明： 平面 ； （2） 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 答案： 证明：取 BC 的中点 M ，连接 DM . ∵ BG=3CG ，∴ G 为 CM 的中点. 又 F 为 CD 的中点，∴ FG//DM . 依题意可知 DE//__BM ，则四边形 DMBE 为平行四边形， ∴ BE//DM ，从而 BE//FG . 又 FG⊂ 平面 A1FG ， BE⊄ 平面 A1FG ， ∴ BE// 平面 A1FG . 解： ∵DE⊥AD1,DE⊥DC ，且 A1D∩DC=D ， ∴DE⊥ 平面 ADC ， A1F⊂ 平面 ADC ， ∴DE⊥A1F ， ∵A1F⊥DC ，且 DE∩DC=D ， ∴A1F⊥ 平面 BCDE ， ∴ 以 F 为原点， FC 所在直线为 x 轴，过 F 作平行于 CB 的直线为 y 轴， FA1 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 F−xyz ，不妨设 CD=2 ， 则 F(0,0,0) ， A1(0,0,3) ， B(1,4,0) ， E(−1,2,0) ， G(1,1,0) ， FA1→=(0,0,3) ， FG→=(1,1,0) ， A1E→=(−1,2,−3) ， EB→=(2,2,0) . 设平面 A1FG 的法向量为 n1→=(x1,y1,z1) ， 则 {n⇀⋅FA1⇀=0n⇀⋅FG⇀=0 ，即 {3z1=0x1+y1=0 ， 令 x1=1 ，得 n→=(1,−1,0) . 设平面 A1BE 的法向量为 m→=(x2,y2,z2) ， 则 {m⇀⋅A1E⇀=0m⇀⋅EB⇀=0 ，即 {−x2+2y2−3z2=02x2+2y2=0 ， 令 x2=1 ，得 m→=(1,−1,−3) . 从而 cos<m→,n→>=1+12×5=105 ， 故平面 A1FG 与平面 A1BE 所成锐二面角的余弦值为 105 .

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