题目

如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），做MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标；（3）如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当时，请求出点Q的坐标．答案：解：∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0）， ∴函数的表达式为：y＝﹣（x＋1）（x﹣3）＝﹣x2＋2x＋3 解：当x=0 时，y=3 ， ∴C（0，3），设直线BC的解析式为y=kx+m(k≠0) ，把点B（3，0），C（0，3）代入得： {3k+b=0b=3 ，解得：{k=−1b=3 ， ∴直线BC的解析式为y＝-x＋3，设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3）， ∴MN＝-m2＋2m＋3-（- m＋3）＝- m2＋3m＝ -（m -32）2＋94，当m ＝32时，MN的长度最大，此时M（32，154）；解：如图，过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC， ∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4 ， ∴点P坐标（1，4）， ∵点B（3，0），C（0，3）， ∴PC＝2，PB＝25，BC＝32， ∴PC2+BC2=PB2 ， ∴△PBC为直角三角形， ∴tan∠PBC＝PCCB=13，设点Q（x，﹣x2＋2x＋3）， ∵∠QCO=∠PBC，则tan∠QCO=tan∠PBC=13=|x|3−(−x2+2x+3)，解得：x＝0或5或﹣1（舍去0），故点Q（﹣1，0）或（5，﹣12）．

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