题目

如图所示为一水平的转台，转台上固定一长直杆，质量分别为 、 的可视为质点的小球M、N穿过长直杆并用质量不计的轻绳 始终处于伸直状态 拴接，环绕 轴转动，当稳定时小球M、N距离转轴的距离分别为 、 ，已知 、 ，两球与长直杆之间的动摩擦因数均为 ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当转台的角速度大小为 时拴接两球的轻绳刚好产生作用力，当转台的角速度大小为 时，其中的一个小球所受的摩擦力刚好为零。 （1） 轻绳刚好产生作用力时的角速度 应为多大？此时两球所受的摩擦力分别为多大？ （2） 其中的一个小球所受的摩擦力刚好为零时的角速度 应为多大？此时拴接两球的轻绳的作用力应为多大？ 答案： 对小球受力分析，开始加速度较小时，静摩擦力提供小球转动的向心力，有： Ff=mω2r ；当其中一个小球所受的静摩擦力达到最大 μmg 时，轻绳才提供拉力；则有： μmg=mω2r ，解得： ω=μgr ；由于 r1<r2 ，所以当N受到的摩擦力最大时，轻绳开始产生拉力，此时 ω1=μgr2 ；此时两小球受到的摩擦力分别为： FfM=m1ω2r1=μm1gr1r2 ， FfN=μm2g ；即：轻绳刚好产生作用力时的角速度 ω1 应为 μgr2 ，此时两球所受的摩擦力分别为 μm1gr1r2 、 μm2g ； 当角速度 ω>ω1 时，设轻绳的拉力大小为F：对小球M，有： FfM+F=m1ω2r1； ，对小球N，有： μm2g+F=m2ω2r2 ；联立解得小球M受到的摩擦力： FfM=μm2g−(m2r2−m1r1)ω2 ；由于 m1<m2 、 r1<r2 ，则小球M受到的静摩擦力随角速度的增大而减小，当减小为0时，转台的角速度为： ω2=μm2gm2r2−m1r1 ；由以上可解得此时轻绳的作用力 F=μm1m2gr1m2r2−m1r1 ；即：其中的一个小球所受的摩擦力刚好为零时的角速度 ω2 应为 μm2gm2r2−m1r1 ，此时拴接两球的轻绳的作用力应为 μm1m2gr1m2r2−m1r1 。

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