题目

一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（参考数据： ° ， ） （1） 若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功； （2） 问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由． 答案： 解：（1）设缉私艇在 处与走私船相遇（如图甲），依题意， ． 在△ 中，由正弦定理得， ．因为 sin17 ° ≈36 ，所以 °．从而缉私艇应向北偏东 方向追击． 在△ 中，由余弦定理得，         ，解得 ．又B到边界线l的距离为 ．因为 ，所以能在领海上成功拦截走私船．答：缉私艇应向北偏东 方向追击； 解：如图乙，以 A 为原点，正北方向所在的直线为 轴建立平面直角坐标系 ．则 ，设缉私艇在 处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则 ，即 ．整理得， ，所以点 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆．因为圆心 到领海边界线 ： 的距离为1.55，大于圆半径 ，所以缉私艇能在领海内截住走私船．答：缉私艇总能在领海内成功拦截走私船．

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