题目

已知数列 的前 项和为 且   . （1） 求证 为等比数列，并求出数列 的通项公式； （2） 设数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 ，对任意 ，不等式 恒成立？若存在，求出 的最小值，若不存在，请说明理由. 答案： 证明 ∵   Sn=2an−32n，   ∴Sn−1=2an−1−32n−1（n≥2），  作差得 an=2an−1−32n(n≥2)，变形得an-12n=2（an−1−12n）(n≥2)∴   {an−12n} 为首项为1，公比为2等比数列    ∴   an=2n-1+12n，n∈N* 解： ∵   an=2n-1+12n，n∈N* 代入 Sn=2an−32n， 得 Sn=2n−12n，  ∵Sn-Sn-1=2n−12n-（2n−1−12n−1）=2n−1+12n>0，   ∴{Sn}为递增数列，令bn=1Sn=2n22n−1∵bn=2n22n−1=2n（2n-1）（2n+1）                           ∴bn<2n（2n-1）（2n−2）=2n-1（2n-1）（2n-1−1）=12n-1-1−12n-1(n≥2)当n=1时，T1=b1=23，当n=2时，T2=b1+b2=23+415=1415当n≥3时，Tn=b1+b2+⋯+bn≤23+415+13−17+17-115+⋯=1915-12n−1<1915 ，  ∵TmSn<191532=3845<1，∴存在λmin=1∴ 存在正整数 λ=1 ，对任意 m，n∈N*，不等式Tm-λSn<0恒成立

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