题目

在平面直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的参数方程为： （ 为参数），直线 的极坐标方程为： . （1） 求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程； （2） 设 ， 是曲线 与直线 的公共点， ，求 的值. 答案： 已知曲线 C 的参数方程为： {x=sinα+2cosαy=cosα−2sinα(α 为参数），所以 {x2=sin2α+4cos2α+4sinαcosαy2=cos2α+4sin2α−4sinαcosα ，两式相加得 x2+y2=5 ，所以曲线 C 的普通方程为 x2+y2=5 ； 直线 l 的极坐标方程为： ρsin(θ+π4)=2 ，根据 {x=ρcosθy=ρsinθx2+y2=ρ2 ，转换为直角坐标方程为 x+y−2=0 ． 直线 l 的参数方程为 {x=2−22ty=22t(t 为参数），代入 x2+y2=5 ； 得到 t2−22t−1=0 ， 所以 t1+t2=22 ， t1t2=−1 ， 所以 ||PA|−|PB||=||t1|−|t2||=|t1+t2|=22 ．

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