题目

已知函数 是奇函数. （1） 若 ，求 的取值范围； （2） 若 的解集为 ，求 的值. 答案： 解： ∵f(x)=loga2−xx−m(a>1) 是奇函数， 则 f(−x)=−f(x) ，即 loga2+x−x−m=−loga2−xx−m ， 即 loga2+x−x−m+loga2−xx−m=0 ，则 loga(2+x−x−m⋅2−xx−m)=0 ， 得 2+x−x−m⋅2−xx−m=1 ，解得： m=2 或 −2 ， 当 m=2 时， 2−xx−m=−1 ，此时 f(x) 无意义，不符合题意； 当 m=−2 时， f(x)=loga2−xx+2(a>1) 是奇函数，符合题意； 所以 f(x)=loga2−xx+2(a>1) ， 若 f(x)>0 ，则 loga2−xx+2>0 ，即 2−xx+2>1 ，解得： −2<x<0 ， 所以 f(x)>0 时， x 的取值范围为 (−2，0) 解：由于 2−xx+2>0 ，解得： −2<x<2 ， 所以 f(x)=loga2−xx+2(a>1) 的定义域为 {x|−2<x<2} ， 若 f(x)>1 ，即 f(x)=loga2−xx+2>1 ，得 2−xx+2>a ， 变形得 −(a+1)x+2−2ax+2>0 ，即 (a+1)x+2a−2x+2<0 ， ∴{[(a+1)x+2a−2](x+2)<0x+2≠0 ， 则可得方程 [(a+1)x+2a−2](x+2)=0 的两根分别为 −2 和 2−2aa+1 ， 由题可知 f(x)>1 的解集为 (t，−23) ， 即方程 [(a+1)x+2a−2](x+2)=0 的两个根为 t 和 −23 ， 所以得 t=−2 ， 2−2aa+1=−23 ，解得： a=2 ， 所以 a−t=2−(−2)=4 .

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