题目

如图所示的简化模型，主要由光滑曲面轨道、光滑竖直圆轨道、水平轨道、水平传送带和足够长的落地区组成，各部分平滑连接，圆轨道最低点B处的入、出口靠近但相互错开，滑块落到区域时马上停止运动。现将一质量为的滑块从轨道上某一位置由静止释放，若已知圆轨道半径 ， 水平面的长度 ， 传送带长度 ， 距离落地区的竖直高度 ， 滑块始终不脱离圆轨道，且与水平轨道和传送带间的动摩擦因数均为 ， 传送带以恒定速度逆时针转动（不考虑传送带轮的半径对运动的影响）。 （1） 要使滑块恰能运动到E点，求滑块释放点的高度； （2） 若 ， 则滑块最终停于何处？ （3） 求滑块静止时距B点的水平距离x与释放点高度h的关系。 答案： 解：若滑块恰好能过最高点，则最高点时有mg=mv2R从A到C，根据动能定理有mg(h1−2R)=12mv2解得h1=0.5m要使滑块恰能运动到E点，则滑块到E点的速度vE=0，从A到E，根据动能定理有mgh2−μmg(x1+x2)=0−0解得h2=1.4m显然h2>h1要使滑块恰能运动到E点，则滑块释放点的高度h0=h2=1.4m 解：若h=1.2m设物体在传送带上向左运动x′2，速度减为0，有mgh−μmg(x1+x′2)=0得x′2=3m之后返回BD轨道，根据动能定理有μmgx′2−μmgx=0得x=x′2=3m所以，恰停在B点处 解：①若滑块刚好停在D点，则mgh3−μmgx1=0−0得h3=0.6m当滑块释放点的高度范围满足0.5m≤h≤0.6m时，滑块不能运动到D点，最终停在BD上，设其在BD上滑动的路程为x，根据动能定理有mgh−μmgx=0−0可得x=hμ=5h②当滑块释放点的高度范围满足0.6m<h≤1.2m时，滑块从传送带返回D点，最终停在BD上，在BD上滑动的路程为(2x1−x)，根据动能定理有mgh−μmg(2x1−x)=0−0可得x=2x1−hμ=(6−5h)m③当滑块释放点的高度范围满足1.2m<h≤1.4m时，滑块从传送带返回D点，重回圆轨道，最终停在BD上，分析可知滑块在BD上滑动的路程为(2x1+x)，根据动能定理有mgh−μmg(2x1+x)=0−0可得x=hμ−2x1=(5h−6)m④当滑块释放点的高度h>1.4m时，滑块从E点飞出，根据动能定理有mgh−μmg(x1+x2)=12mvE2由平抛运动知识可知，平抛运动的时间t=2Hg=0.2s可得x=x1+x2+vEt=(7+25h−75)m

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