题目

已知曲线 和曲线 交于A，B两点（点A在第二象限）．过点A作斜率为 的直线 交曲线M于点C（不同于点A），过点 作斜率为 的直线 交曲线 于E，F两点，且 ． （Ⅰ）求 的取值范围； （Ⅱ）设 的面积为S，求 的最大值． 答案：解：（I）由题意可知 A(−2，4) ， B(2，4) ， P(1，2) ， 所以 kPA=−23， kPB=2 ，所以 −23≤k2≤2 ． 因为 k1+k2=2 ，所以 k2=2−k1 ，即 −23≤2−k1≤2 ， 所以 0≤k1≤83 ，又因为 k1≥0 ，所以 0≤k1≤83 ． （Ⅱ）设直线 AC：y−4=k1(x+2) ，即 k1x−y+2k1+4=0 ， 则点M到直线AC得距离 d1=2|k1|k12+1 ， 所以 |AC|=24−d12=4k12+1 ． 所以 AC→⋅AB→=AC→2=|AC|2=16k12+1 ． 设直线 EF：y−2=k2(x−1) ， 即 y=k2x−k2+2 ， E(x1，y1) ， F(x2，y2) ， 则点B到直线EF的距离 d2=|k2−2|k22+1 ． 联立 {y=k2x−k2+2y=x2 ，消去y得 x2−k2x+k2−2=0 ， 所以 x1+x2=−k2 ， x1x2=k2−2 ， 所以 |EF|=1+k22|x1−x2|=1+k22k22−4k2+8 ． 所以 △BEF 的面积 S=12|EF|⋅d2=121+k22k22−4k2+8⋅|k2−2|k22+1 =12|k2−2|k22−4k2+8 ． 因为 k1+k2=2 ，所以 S=k12k12+4 ． 所以 (AC¯⋅AB→)S=16k12+1⋅k12k12+4=8(k12+4)k12k12+1 ． 设 k12+1=t ，则 t∈[1，739] ，所以 1t∈[973，1] ， 所以 8k14+4k12k12+1=8(t−1)(t+3)t2=8−3(1t)2+2t+1 =8−3(1t−13)2+43≤1633 ． 当且仅当 1t=13∈[973，1] ， 此时 k1=2 ， k2=2−2 ． 所以当 k2=2−2 ， (AC→⋅AB→)S 的最大值 1633 ．

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