题目

在平面直角坐标系中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在轴上，短轴长为2，离心率为. (1)求椭圆C的方程；        (2)A、B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点, E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P,设,求实数t的值. 答案：解:（1）设椭圆C的方程为，由题意知，解得,椭圆C的方程为. (2) 当AB⊥x轴时,设A(x0,y0),B(x0,-y0), 由 由=t=t(x0,0)=(tx0,0),得P(tx0,0),又P在椭圆上,所以+02=1,所以t2==4或,所以t=2或(舍去负值). 当AB不垂直于x轴时,设AB:y=kx+m,显然m≠0,代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0.…(*) 由三角形面积公式知, |xAyB-xByA|=|xA(kxB+m)-xB(kxA+m)|=|m||xA-xB|=, 所以, , 即,整理得, …① 又， 所以， ， 即，将其代入椭圆方程得， 整理可得，② 联立①②，消去，约分掉，移项整理得，， 解之可得，或，均能使式的，所以或（舍去负值）. 综上，或.

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