题目

如图所示，△ABC内接于圆O，D是 的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点E，F． （Ⅰ）求证：BF是△ABE外接圆的切线；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值． 答案：解：（Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE， 则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE．因为AF平分∠BAC，所以 BF^=FC^ ，所以∠FBE=∠BAE， 所以∠FBG=∠FBE+∠EBG=∠BGE+∠EBG=180°﹣∠BEG=90°，所以O′B⊥BF，所以BF是△ABE外接圆的切线（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，所以DF是圆O的直径，因为BD2+BF2=DF2，DA2+AF2=DF2，所以BD2﹣DA2=AF2﹣BF2． 因为AF平分∠BAC，所以△ABF∽△AEC，所以 ABAE = AFAC ，所以AB•AC=AE•AF=（AF﹣EF）•AF，因为∠FBE=∠BAE，所以△FBE∽△FAB，从而BF2=FE•FA，所以AB﹣AC=AF2﹣BF2，所以BD2﹣DA2=AB•AC=6

查看本题答案和解析