题目

在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ， 然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB ， BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b ． （1） 当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值； （2） 试确定a ， b ， x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值． 答案： 解：因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a＝90时，b＝40，从而包装盒子的侧面积S＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x)＝－8x2＋260x，x∈(0，20) ．因为S＝－8x2＋260x＝－8(x－ 654 )2＋ 42252 ，故当x＝ 654 时，侧面积最大，最大值为 42252  平方厘米．答：当x＝ 654 时，纸盒的侧面积的最大值为 42252 平方厘米 解：包装盒子的体积V＝(a－2x)(b－2x) x＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]，x∈(0， b2 )，b≤60． V＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]≤x(ab－4 ab x＋4x2)＝x(3600－240x＋4x2)＝4x3－240x2＋3600x．        当且仅当a＝b＝60时等号成立．设f (x)＝4x3－240x2＋3600x，x∈(0，30)．则f ′ (x)＝12(x－10)(x－30)．于是当0＜x＜10时，f ′ (x)＞0，所以f (x)在(0，10)上单调递增；当10＜x＜30时，f ′ (x)＜0，所以f (x)在(10，30)上单调递减．因此当x＝10时，f (x)有最大值f (10)＝16000，此时a＝b＝60，x＝10．答：当a＝b＝60，x＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米

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